יותר

5.4: אנרגיה בזרימה של ערוצים פתוחים - מדעי הגיאוגרפיה

5.4: אנרגיה בזרימה של ערוצים פתוחים - מדעי הגיאוגרפיה


כדי לטפל בשתי בעיות המעבר בערוץ שהוצגו קודם לכן, עלינו לבחון מקרוב את האנרגיה המכנית בזרימה של ערוץ פתוח, וכיצד משתנים חלוקת המרכיבים השונים של אותה אנרגיה מכנית, קינטית ופוטנציאלית. מעבר המדובר.

בפרק 3 ציינתי כי משוואת ברנולי היא ביטוי למשפט העבודה-אנרגיה: העבודה שנעשתה על ידי לחץ הנוזל שווה לשינוי באנרגיה הקינטית של הזרימה. זכור כי במקרים כאלה, אם השינוי באנרגיה הקינטית הוא הפיך, כמות הנקראת אנרגיה פוטנציאלית מוגדרת כמינוס העבודה שנעשתה, ואז סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית, המכונה לעתים קרובות אנרגיה מכנית, אינו משתנה או נשמר. אומרים שכוחות שזה נכון להם, כמו לחץ הנוזל במקרה זה שמרני כוחות. כוח הכבידה הוא דוגמה טובה: כדור שנזרק כלפי מעלה צובר אנרגיה פוטנציאלית בדרכו למעלה באותו קצב שהוא מאבד אנרגיה קינטית, אם מתעלמים מהתנגדות החיכוך של האוויר. לעומת זאת, כוחות חיכוך מורידים אנרגיה מכנית לאנרגיה תרמית (המכונה בדרך כלל אנרגיית חום או אנרגיית חום).

סקור את הגזירה של משוואת ברנולי בפרק 3 ותראה שלחץ נוזל הוא כוח שמרני: בהעדר חיכוך, השינוי באנרגיית הלחץ הפוטנציאלית ליחידת נפח בין שתי נקודות (1 ) ו- (2 ) במורד ייעול, שהוא מינוס העבודה ליחידת נפח (- (p_ {2} - p_ {1}) ) על ידי לחץ הנוזל, שווה לשינוי באנרגיה הקינטית ליחידת נפח, (( rho / 2) ({v_ {2}} ^ {2} - {v_ {1}} ^ {2}) ), כך ששני סוגי האנרגיה המכנית ניתנים להחלפה גם במקרה זה. לכן זה צריך להיראות טבעי שכאשר הנוזל נמצא בשדה כוח המשיכה ניתן לכלול גם משוואה של אנרגיה פוטנציאלית כבידתית במשוואת ברנולי. מכיוון שאנרגיית הפוטנציאל הכבידתי היא (mgh ) (כאשר m היא מסת הגוף הנבחן ו- (h ) היא הגובה ביחס למישור אופקי שרירותי), האנרגיה הפוטנציאלית ליחידת נפח היא ( rho gh ).

כך שבמשוואת ברנולי המורחבת האנרגיה המכנית ליחידת נוזל הנעה לאורך הזרם, (v ^ {2} / 2 + p + rho g h ), היא קבועה. ניתן לכתוב זאת בצורה קצת יותר נוחה למטרות שלנו כאנרגיה ליחידת משקל נוזל (E_ {w} ). מכיוון שמשקל שווה לנפח כפול ( rho g ),

[E_ {W} = frac {v ^ {2}} {2 g} + frac {p} { gamma} + h label {5.3} ]

שימו לב שלכל מונח יש ממדי אורך; (E_ {w} ) נקרא ראש מלאוהתנאים מימין נקראים ראש מהירות, ה ראש לחץ, וה ראש גובה, בהתאמה. בנוזל אמיתי, החיכוך משפיל את האנרגיה המכנית לחום כאשר הנוזל נע לאורך התייעלות. ירידה זו באנרגיה מכנית מנקודה לנקודה, מבוטאת ליחידת נוזל, נקראת איבוד ראש. אם אתה מוסיף את כל שלושת המונחים בצד ימין במשוואה ref {5.3} הסכום יורד במורד הזרם, לא משנה איך ערכי המונחים הבודדים משתנים.

זה יהיה נחמד להכליל את משוואה ref {5.3} כך שהיא חלה על זרימה שלמה של ערוצים פתוחים, לא רק על כל התייעלות בה. הבעיה בכך היא שמהירות, גובה ולחץ אינם קבועים מנקודה לנקודה בחתך רוחב. אך אם אין תאוצות נוזלים חזקות הנורמליות לכיוון הזרימה, הלחץ קרוב להתפלגות הידרוסטטית: (p = gamma (d-y) ). ואז ניתן לכתוב את סכום ראש הגובה וראש הלחץ

( התחל {מיושר} h + frac {p} { gamma} & = h _ { mathrm {o}} + y + frac {p} { gamma} & = h _ { mathrm {o}} + y + frac { gamma (dy)} { gamma} end {align} )

[= h _ { mathrm {o}} + d label {5.4} ]

כאשר (h _ { text {o}} ) הוא הגובה של תחתית הערוץ. וריאציות לחץ וגובה על פני חתך נלקחות בחשבון במשוואה ref {5.3}. וריאציה במהירות היא עדיין בעיה, אך בזרימות סוערות פרופיל המהירות כה שטוח על פני רוב החלק, עד שיש צורך לבצע תיקון קטן בכדי להחליף את (v ) במהירות הממוצעת של החתך (U ). לאחר מכן ניתן לכתוב משוואה ref {5.3} בין שני קטעי רוחב (1 ) ו- (2 ) בזרימת ערוץ המשתנה רק לאט במורד הזרם כ

( text {head loss} = left (E_ {w} right) _ {2} - left (E_ {w} right) _ {1} )

[= frac {U_ {2} ^ {2}} {2 g} + h _ { text {o} 2} + d_ {2} - left ( frac {U_ {1} ^ {2}} {2 g} + h _ { text {o} 1} + d_ {1} right) label {5.5} ]

עלילה של (E_ {w} ) כנגד מיקום הערוץ התחתון נקראת קו כיתה אנרגיה, ושיפוע קו זה (או, בדרך כלל, עקומה) הוא ה- שיפוע אנרגיה אוֹ שיפוע אנרגיה.

ב מדים זרימה של ערוצים פתוחים, אשר גם אנרגיה קינטית וגם אנרגיה פוטנציאלית זהים בכל חתך אך אנרגיה פוטנציאלית פוחתת במורד הזרם, אובדן הראש הוא פשוט קצב הירידה של ראש הגובה במורד הזרם, או במילים אחרות שיפוע פני המים. ומשטח המיטה, ששווה אז גם לשיפוע האנרגיה.

לעתים קרובות שימושי להחיל משוואה ref {5.5} על זרימה של ערוצים פתוחים המשתנה במהירות מספקת עד כדי אובדן ראש קטן, אך לאט לאט כדי שקרוב הלחץ ההידרוסטטי לא יהיה שגוי מדי. תנאים אלה אינם מגבילים במיוחד: דוגמאות הן עלייה או נפילה עדינה במיטת התעלה, כמו ב"בעיה המעשית "הראשונה שהוצגה קודם לכן בפרק זה (איור 5.2.1) או הרחבה או התכווצות עדינות של קירות התעלה. ההתפתחות בשאר חלקים זו נועדה לטפל במקרים כאלה. משוואה ref {5.5} הופכת להיות

[ frac {U_ {2} ^ {2}} {2 g} + h _ { text {o} 2} + d_ {2} = frac {U_ {1} ^ {2}} {2 g} + h _ { text {o} 1} + d_ {1} label {5.6} ]

כמות נוחה להחלפה למשוואה ref {5.6} היא (d + U ^ {2} / 2 mathrm {g} ), הנקראת ראש ספציפי (H _ { text {o}} ):

[H _ { mathrm {o}} = d + frac {U ^ {2}} {2 g} label {5.7} ]

הו, נקרא גם אנרגיה ספציפית, הוא פשוט הראש (כלומר אנרגיית הזרימה ליחידת משקל) ביחס לתחתית התעלה. באמצעות (H _ { text {o}} ), משוואה ref {5.6} הופכת להיות

[H _ { mathrm {o} 2} + h _ { mathrm {o} 2} = H _ { mathrm {o} 1} + h _ { mathrm {o} 1} label {5.8} ]

אוֹ

[H _ { mathrm {o} 2} = H _ { mathrm {o} 1} - left (h _ { mathrm {o} 2} -h _ { mathrm {o} 1} right) label { 5.9} ]

כעת הסתכל על יחידה פרוסה במקביל לכיוון הזרימה בזרימה דו מימדית. במילים אחרות, אינך צריך לדאוג לדפנות כי הם רחוקים יחסית למתרחש באופן מקומי.) פריקה לכל רוחב יחידה (q ) קבועה ושווה ל- (Ud ). החלפה של (U = q / d ) להגדרה לראש ספציפי מבטלת (U ) ומספקת יחס בין (d ) ו- (H _ { text {o}} ) לכל ערך של (q ):

[H _ { mathrm {o}} = frac {q ^ {2}} {2 g d ^ {2}} + d label {5.10} ]

משפחת העקומות של (H _ { text {o}} ) לעומת (d ) לערכים שונים של (q ) נקראת תרשים ראש מסוים אוֹ תרשים אנרגיה ספציפית (איור ( PageIndex {1} )).

כדי להמחיש את התועלת של דיאגרמת הראש הספציפית, נניח שהזרימה המתקרבת לשלב המוצג באיור 5.2.1 מאופיינת בערכים של (q ), (d ) ו- (H _ { text {o }} ) (כלומר: פריקה ליחידת ערוץ יחידה; עומק ואנרגיית זרימה) המתווים בנקודה ( text {P} _ {1} ) באיור ( PageIndex {2} ), על החלק העליון של העקומה עבור (q ) הנתון. מכיוון שהתחתית עולה במרחק חיובי ( delta h = h _ { text {o} 2} - h _ { text {o} 1} ), על ידי משוואה ref {5.9} הראש הספציפי (H_ { text {o} 2} ) המשויך לזרימה במורד המעבר נמצא מרחק ( delta h ) משמאל (H _ { text {o} 1} ) לאורך (H_ { text {o} 1} ) ציר; ( text {P} _ {2} ) היא הנקודה המתאימה המייצגת את הזרימה. לכן עומק הזרימה במורד המדרגה קטן יותר על ידי (( דלתא ד) _ {P} ) באיור ( PageIndex {2} ) מאשר בזרימה המתקרבת, ועל ידי היחס (q = Ud ) מהירות הזרימה גדולה יותר (איור ( PageIndex {3} )). האם זה גורם נזק לאינטואיציה שלך?

מכוח הצורה המסועפת הכפולה של העקומות באיור ( PageIndex {1} ) יכולה להיות גם זרימה מתקרבת המיוצגת על ידי נקודה (Q_ {1} ) בחלק התחתון של אותה עקומה, עם בדיוק אותה אנרגיית פריקה וזרימה אך עם עומק רדוד יותר ומהירות גבוהה יותר. במקרה זה הזרימה במורד הזרם של המעבר, המיוצגת על ידי הנקודה (Q_ {2} ) שנמצאה על ידי הזזת מרחק ( delta h ) שמאלה לאורך ציר (H _ { text {o}} ) כמו קודם, יש לו עומק גדול יותר ב- (( delta d) Q ) מהזרימה המתקרבת, ומהירות קטנה יותר (איור ( PageIndex {4} )). הידרואליסטים בעלי ערוצים פתוחים מדברים עומקים חלופיים עליונים ותחתונים.

עבור נקודות בהן לעיקולים של (d ) לעומת (H _ { טקסט {o}} ) משיקים אנכיים, עומק ומהירות אינם משתנים במעבר. זרימות המתאימות לנקודות אלה נקראות זרמים קריטיים. המשוואה לנקודות כאלה נמצאת בשני שלבים. ראשית, הבדל את הפונקציה במשוואה ref {5.10} כדי למצוא (d H _ { mathrm {o}} / d (d) ), הגדר נגזרת זו שווה לאפס, ופתור עבור (q ) כ- הפונקציה של (d ). התוצאה היא

[q_ {c} ^ {2} = g d_ {c} ^ {3} label {5.11} ]

כאשר המשנה (c ) מציין כי המשוואה היא למצב הקריטי של משיק אנכי. ואז החלף ביטוי זה ב- (q_ {c} ^ {2} ) למשוואה ref {5.10} כדי להשיג

[H _ { mathrm {oc}} = frac {3} {2} d_ {c} label {5.12} ]

שוב עם המשנה (c ) המציין זרימה קריטית.

מיקום הנקודות בתרשים הראשי הספציפי שעבורו הזרימה היא קריטית הוא אפוא קו ישר עם שיפוע (2/3 ). הוא מוצג באיור ( PageIndex {1} ) כקו מקווקו המשתרע כלפי מעלה ימינה מהמקור. הזרימות המתאימות לנקודות מעל הקו הן תת קריטי (עומקים עמוקים יותר ומהירויות נמוכות יותר), וזרמים המתאימים לנקודות מתחת לקו הם סופר קריטי (עומקים רדודים יותר ומהירויות גבוהות יותר).

לפיכך, לכל שילוב של פריקה לכל רוחב יחידה (q ) ואנרגיית זרימה (המיוצגת על ידי (H _ { text {o}} )) יש התאמה לשני מצבי זרימה אפשריים שונים, בעלי עומק ומהירות שונים הניתנים על ידי שני צמתים של העקומה של (d ) לעומת (H _ { טקסט {o}} ) עבור אותו (q ) והקו האנכי המשויך לאותו (H _ { טקסט {o}} ). בכמה סוגים של מעברים לאורך הערוץ, הזרימה נאלצת כל הדרך מאחד ממצבים אלה לשני, ובכך עוברת את המצב הקריטי במהלך המעבר. כל זרימה, אשר תהיה מקורה ולפיכך העומק והפריקה אשר תהיה, נופלת בשלב מסוים על אחד העקומות בתרשים הראש הספציפי, ולכן היא על-קריטית או תת-קריטית (או קריטית). ההתנהגות של אותה זרימה במעבר שונה בתכלית, תלוי אם הזרימה היא תת-קריטית או על-קריטית. הבדל זה בהתנהגות הוא ביסודו תוצאה של הדרישה לשימור אנרגיית הזרימה המתבטאת במשוואה ref {5.6}, יחד עם הדרישה לשימור המסה ש

[q = frac {U_ {1}} {d_ {1}} = frac {U_ {2}} {d_ {2}} label {5.13} ]

לדוגמא, במעבר שנבדק לעיל, המשתנים (U_ {1} ), (d_ {1} ), (h _ { text {o} 1} ) ו- (h _ { text {o} 2} ) ניתנים כולם, ומשוואות ref {5.6} ו- ref {5.12} ואז מציינות בדיוק איזה שילוב של (U_ {2} ) ו- (d_ {2} ) חייב להחזיק.

קורה שהתנאי לזרימה קריטית תואם למספר פרודה של זרימה ממוצעת (U / (g d) ^ {1/2} ) של אחדות. כדי לאמת זאת, פשוט החלף את משוואה ref {5.11}, התנאי לזרימה קריטית, למשוואה ref {5.7}, את ההגדרה עבור (H _ { text {o}} ), כדי לקבל יחס בין ( U ) ו- (d ) לזרימה קריטית: (U ^ {2} = gd ), או ( mathrm {Fr} = 1 ). זרימות תת קריטיות מאופיינות במספרי פרודה פחות מאחד, וזרימות על קריטיות מאופיינות במספרי פרודה הגדולים מאחד.

תראה בפרק 6, על זרימת תנודה, שמהירות c של גל כוח המשיכה במים רדודים היא ((g d) ^ {1/2} ), כאשר (d ) הוא עומק המים. אם תחליף מהירות גל זו (c ) למכנה ((gd) ^ {1/2} ) בהגדרת מספר פרודה, אתה רואה כי עבור מספר פרודה השווה לאחד מהירות הזרימה הממוצעת היא שווה למהירות גלי השטח. גל פני המים שנע בכיוון הזרם נראה לצופה על גדת התעלה עומד במקום. משמעות הדבר היא שאם מספר הפרודה של הזרימה גדול מאחד, הפרעות גל אינן יכולות להתפשט במעלה הזרם: הזרימה שמגיעה ממעלה הזרם אינה יכולה לדעת מה צפוי לו במיקומים במורד הזרם. לעומת זאת, בזרימה התת-קריטית, הזרימה במעלה הזרם פחית להיות מושפעים, בדרך כלל למרחקים ארוכים, מהתנאים במורד הזרם.

נקודה אחרונה זו מומחשת היטב על ידי שיקול סופי אחד של הצעד כלפי מעלה המוצג באיור 5.2.1. ככל שגובה המדרגה גדל בהדרגה, הנקודה המתאימה בענף העליון של דיאגרמת הראש הספציפית נעה שמאלה ומטה מנקודה ( text {P} ) לכיוון נקודת המשיק האנכי, ( text {C} ). ככל שהנקודה עוברת לאורך העקומה, כך הירידה בעומק הזרימה מעל המדרגה גדולה יותר. אך יש גבול להשפעה זו: האנרגיה הספציפית אינה יכולה לרדת מעבר לזו המקבילה לנקודה ( text {C} ) של המשיק האנכי, מכיוון שהזרם צריך להישאר על העקומה הקבועה (q = text { } ). אז מה קורה כשהצעד עולה עוד יותר? הזרימה מעל המדרגה נותרת קריטית והעומק במעלה המדרגה גדל. במקום שלא תהיה השפעה על הזרימה במעלה הזרם, כפי שהיה במקרה של מדרגות נמוכות יותר, המדרגה משמשת כיום כסכר: השפעתה מורגשת הרבה במעלה הזרם.

ייתכן שתוהה בשלב זה כיצד ניתן להשיג את מצב הזרימה המיוצג על ידי הנקודה החלופית בתרשים הראש הספציפי. כדי לראות כיצד זה עשוי לקרות, נניח שהגיאומטריה של השלב באיור 5.2.1 תשתנה מעט: לאחר הגעת פסגת המדרגה, תחתית הערוץ נופלת בצורה חלקה לגובהה המקורי. אם כעת עבור הזרימה התת-קריטית המתקרבת עם נתון (q ) גובה המדרגה מורם עד לנקודה בה הזרימה מעל המדרגה בדיוק הגיעה למצב הקריטי, המיוצג על ידי נקודה ( text {C} ) על העקומה עבור נתון (q ) באיור ( PageIndex {5} ), מעבר הזרימה במורד הזרם לרמה המקורית בא לידי ביטוי בתרשים הראש הספציפי כמעבר מנקודה ( text {P} ) כדי להצביע ( text {Q} ) אנכית מתחת לנקודה המקורית ( text {P} ) אך על הגפה התחתונה (העל-קריטית) של עקומת (q ). הזרימה נמצאת כעת באותה גובה ויש לה אותה אנרגיה (כלומר, אותה גובה תחתון-תעלה ואותו ראש ספציפי), אך כעת היא זורמת בשילוב שונה מאוד של עומק ומהירות, המתאים לזרימה סופר קריטית ( איור ( PageIndex {6} )). מה שקורה, מבחינה פיזית, בניגוד גרפית, הוא שהזרימה הקריטית על פסגת המדרגה מאיצה בצד ההוא של המדרגה, כדי להשיג מהירות על-קריטית (ומכוח שמירת המסה, עומק רדוד יותר) . אם הצעד מוגבה מעבר לדרוש כדי להשיג את המצב הקריטי, הזרם במעלה הזרם נסגר ועומקו גדל, מכריח את הנקודה ( text {P} ) כלפי מעלה ימינה לאורך העקומה עבור הנתון (q ) בתרשים האנרגיה הספציפית.

הערה אחרונה היא שהזרם העל קריטי במורד הזרם של המדרגה אינו נשאר סופר קריטי למרחק גדול מאוד, אלא אם כן שיפוע החלק התחתון במורד הזרם של המדרגה נהיה תלול בהרבה. אם התחתון ישמור על שיפועו העדין, קפיצה הידראולית עשויה להיווצר בשלב כלשהו במורד הזרם, וכתוצאה מכך הזרימה תחזור למצבה התת-קריטי המקורי; ראה את הסעיף הבא.


בעיית אנרגיה קלאסית בזרימה של ערוצים פתוחים

אנרגיה ספציפית היא כמות האנרגיה למשקל הנוזל כאשר מיטת התעלה נחשבת לנתון. האנרגיה הספציפית של מים בערוץ היא סיכום ראש הלחץ הדינמי וראש הלחץ הסטטי. במקרה שהנתון הוא מיטת התעלה, ראש הלחץ הסטטי או הראש ההידראולי הם פשוט פשוט עומק הזרימה, המסומן על ידי y. מאמר זה מציג את היישום של ספציפי בעיית אנרגיה קלאסית בזרימה של ערוצים פתוחים.

האנרגיה הספציפית שימושית ביותר בהבנת מאפייני הזרימה במעברי זרימה כמו כיווצים, הרחבות, מדרגות ושערים. היישום יכול להרחיב גם את זה של חקר ההשפעות של צורות מיטה כמו דיונות ומכשירי זרימת הערוצים הפתוחים ביותר כמו גלים שיש להם בסיס כלשהו לשיקול האנרגיה בנוזל. בעיות האנרגיה הקלאסיות בדיון המוצג כאן מטרתן להכיר את מושג האנרגיה הספציפית ואת מאפייני הזרימה המתקבלים באמצעות משוואות ובאופן גרפי בתרשים עומק אנרגיה.