יותר

אחרי כמה מרחק מערכת הקואורדינטות x, y מתעוותת בצורה ניכרת?

אחרי כמה מרחק מערכת הקואורדינטות x, y מתעוותת בצורה ניכרת?


אני עובד עם חיישנים ימיים שנותנים מידע על אובייקטים נעים שהוא מגלה, באזימוט, טווח וגובה, ואנחנו ממירים אותו לקואורדינטות x, y כדי שהיישום שלנו יוכל לעבד אותו.

גילינו שרוב המערכות הימיות רואות את מרכז כדור הארץ כנקודת התייחסות בעת ביצוע חישובי מיקום, אך מכיוון שהיינו זקוקים ל- x, y, אנו שוקלים שכאשר התוכנה שלנו מתחילה, אנו מציינים את מיקום הסירה שלנו בהתייחס למצב של כדור הארץ. מרכז והמיר אותו לקואורדינטות x, y, שם המיקום הנוכחי של הסירה שלנו יהיה 0,0 (המקור).

הסירה יכולה לנוע עד 25 קשר, לכן כשעברנו מרחק טוב היינו ממירים את כל הקואורדינטות x, y בתוכנה לרדיוס, אזימוט וגובה ביחס למרכז כדור הארץ ואז ממירים אותה ל- x, y הנוכחי מיקום הסירה (כאשר המיקום הנוכחי הוא מקור הרשת x, y). הבעיה היחידה תהיה, העמימות במיקום של כל האובייקטים הנעים שהחיישן עקב אחריהם.

שתי שאלות:

  1. האם זו הדרך הטובה ביותר לעשות זאת או שיש דרך טובה יותר? עלינו לעבוד עם קואורדינטות x, y.
  2. כמה קילומטרים תצטרך סירה לנוע כך שמערכת הקואורדינטות x, y תהייה מוטעית עקב העקמומיות של כדור הארץ?

"שגוי" הוא יחסית לצרכי הדיוק שלך. בואו נאמד את הדיוק מבחינת המרחק בו עברה הסירה: באמצעות תוצאה כזו, תוכלו להחליט מתי חישובי המיקום הופכים ל"שגויים ".

אני מבין את השאלה באומרה כי המיפוי מתבצע במערכת קואורדינטות שווי אזימוטלית שבמרכזה מקור הסירה. למעשה, משתמשים בקואורדינטות קוטביות כדי לתאר את מיקומי הסירה במונחים של מרחקיהם מהמקור וזוויותיהם הנעשות לכיוון סטנדרטי כלשהו (כגון צפון אמיתי) במקור זה. המיקומים של כל האובייקטים שנצפו מהסירה יתייחסו למסבים שלהם (יחסית לסביבת הסירה) ולמרחקים (האמיתיים) מהסירה.

על פני מרחקים גדולים למדי - אולי עד כמה אלפי קילומטרים ומעלה - צורת כדור הארץ קרובה מספיק לכדור שלא צריך לדאוג להשטחה מינורית של חלק אחד בכ -300. זה מאפשר לנו להשתמש בחישובים פשוטים. מבוסס על גאומטריה כדורית.

החישובים כוללים שלוש נקודות: עמדת אובייקט רואה א, עמדת הסירה ב, והמקור ב ג. נקודות אלה יוצרות משולש. תן לצד הנגדי לקודקוד א יש אורך א ותנו לזווית הכלולה בקודקוד א לִהיוֹת אלפא, עם אמנה דומה המשתמשת ב, ג, בטא, ו גמא לצדדים ולזוויות האחרות. מוצע להחליף את המרחק האמיתי ג בֵּין א ו ב, מחושב באמצעות החוק הכדורי של קוסינוס באמצעות

S = cos (c) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b) cos (gamma)

לפי מרחקים המחושבים בקואורדינטות הממופות באמצעות החוק האוקלידי של קוסינוס דרך

E = c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos (גמא).

(ס נותן מרחקים ב רדיאנים, אשר מומרים למרחקים אוקלידיים עם הכפלתם ברדיוס האפקטיבי של הכדור המקורב. עבור סירה הנוסעת 25 קשר למספר שעות, או אפילו כמה ימים, המרחקים הללו יהיו קטנים: 25 קשר פחות מחצי מעלה לשעה, או כ- 0.0073 רדיאנים לשעה. זה ייקח כמעט שישה ימים לנסוע ברדיאן אחד.)

בואו ניקח בחשבון את קרוב משפחה שגיאת מרחקים,

r = Sqrt (E) / ACos (S) - 1,

מבחינת מידה כלשהי של המרחקים א ו ב בין מוצא לחפץ או לסירה. מכיוון שהנוסחאות הן סימטריות ב א ו באנחנו יכולים גם לקחת א גדול מ ב ולכתוב ב = ta איפה t הוא בין 0 ל -1. הרחבת היחס הזה כסדרת מקלאורין ב t דרך ההזמנה השלישית, ואז החלפה t על ידי תוֹאַר רִאשׁוֹן, נותן

r = b ^ 4 sin (gamma) ^ 2 / (6 * (a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos (gamma)).

ביטוי זה תלוי ב גמא (הזווית בין הסירה לאובייקט כפי שהיא נראית מהמקור). זה הכי קטן מתי גמא הוא מכפיל של 180 מעלות: כלומר, האובייקט והסירה נמצאים באותו מסלול. אז אין שום שגיאה בכלל (כי המרחקים לאורך הקווים המקרינים מהמקור הם נכונים). השגיאה היחסית (שהיא תמיד חיובית, אגב, להוכיח שכדור הארץ יש עקמומיות חיובית) היא הגדולה ביותר בזווית ביניים בה היא יכולה להגיע לערך גדול כמו ב^2/6. זהו גבול עליון אוניברסלי לשגיאה היחסית, ללא תלות בזווית גמא. זה יהיה קירוב מעולה בתנאי ב^ 4 קטן בהרבה מ ב^ 2. זה יקרה בכל פעם ב הוא קטן משמעותית מרדיאן אחד - סביב 57 מעלות או מעל 3,000 מייל ימי (ננומטר).

כוחם של שניים בנוסחה פשוטה זו הוא החלק המכריע: זה מראה כי השגיאה היחסית המרבית בחישוב מרחקים בין סירה לאובייקט גדלה רק באופן ריבועי עם יותר קרוב משני המרחקים למקור. אנו יכולים ליצור טבלה פשוטה תוך שימוש בחשבון נפש בלבד, ולעצור את החישובים שלנו במרחקים קטנים משמעותית מרדיאן אחד.

מרחק (ננומטר) מרחק (רדיאנים) שגיאה יחסית מקסימאלית (%) ------------- ------------------ ----- --------------------- 1 0.0003 1.4E-6 10 0.003 1.4E-4 100 0.03 0.014 1000 0.29 1.4

השגיאה היחסית של 1.4% אינה רעה אפילו ב -1000 ננומטר (כ -1850 ק"מ). שגיאות בחישוב מרחקים בין אובייקט לאובייקט יהיו לכל היותר סכומים כפולים מאלו. כתוצאה מכך, השימוש בהקרנה זו יהיה בסדר גמור עד למרחקים בהם ניתן לסבול את הטעויות היחסיות. בתשובה לשאלה (1), למרחקים גדולים יותר מומלץ צורות חישוב אחרות.


צפו בסרטון: MATERI MATEMATIKA DIMENSI 3 JARAK TITIK KE GARIS